Mathematik

Geschichtlicher Überblick über die Mathematik

Dieser Artikel dient als Hilfestellung für einen Charaktertyp des Mathematikers, Forschers, Kartographen, Magiers, etc; kurz, eines wissenschaftlich gebildeten Charakters (siehe auch CharakterTippsGelehrter).

Wer gerne einen Gelehrten spielen würde, jedoch nicht genau weiß, auf welche wissenschaftlichen Methoden er zurückgreifen "darf", wenn er einigermaßen im historischen Rahmen bleiben will, für den soll dieser Artikel Abhilfe schaffen.

Eckdaten

• "Satz des Pythagoras": 2. Jahrtausend v. Chr. (Babylon)
• Lösung linearer Gleichungssysteme: 2. Jahrtausend v. Chr. (Babylon, Ägypten)
• Zahlentheorie: 6. Jhd. v. Chr. (Pythagoras)
• Trigonometrie: 2. Jhd. v. Chr. (Hipparchos)
• Lösung quadratischer Gleichung (9. Jhd. Al-Khwarizmi), Lösung kubischer Gleichung (16. Jhd. Cardano)
• Rechnen mit Platzhaltern: 12. Jhd. (Leonardo von Pisa alias Filius Bonacci), setzte sich aber erst im 16. Jhd. durch (Vieta)
• imaginäre Zahlen (Wurzeln aus negativen Zahlen): 16. Jhd.
• Differential-/Integralrechnung: 17. Jhd. (Leibniz, Newton)

• Vektorrechnung: 19. Jhd. (Gibbs)

• Mengenlehre: 19. Jhd. (Cantor)

Schreibweise von Zahlen

Römische Zahlen

Die Römer bedienten sich, um ihre Zahlen niederzuschreiben, einer recht simplen Art und Weise: Sie hatten für ganz bestimmte Zahlen ein festes Symbol und bildeten alle anderen Zahlen durch Addition und Subtraktion dieser Symbole. Die Zeichen sind:

I = 1 ; V = 5 ; X = 10 ; L = 50 ; C = 100 ; D = 500 ; M = 1000

Wenn ein Zeichen mehrmals geschrieben wird (bis zu 3 mal), so werden sie aufaddiert, d.h. XXX = 30. Begonnen wird mit dem Symbol, das den höchsten Wert hat. Folgt dahinter eines oder mehrere Symbole mit niedrigerem Wert, so werden sie hinzuaddiert. Steht ein Symbol vor einem anderen mit höherem Wert, so wird das kleinere von dem großen abgezogen, z.B. IX = 9.

Die Summe ist übrigens ein lateinisches Wort (summa - die höchste). Der Begriff wurde dadurch geprägt, dass die Römer eine Summe derart aufschrieben, dass die Summanden untereinander standen und das Ergebnis über diese Summanden geschrieben wurde.

• Es gibt Urkunden und Inschriften, in denen die 9 auch als VIIII auftaucht. JulianWild, 23.05.05

  • Damit wurde im Mittelalter wohl etwas freier umgegangen. AndrejPfeifferPerkuhn 28.5.2005

    • In der Tat ist auf sehr vielen Zifferblättern altmodischer Uhren die Vier dargestellt als IIII -- PatrickC

das arabische Stellenwertsystem

Die Inder erfanden unser sog. Stellenwertsystem, welches wir auch heute noch benutzen. Entstanden ist es ca. 500 n. Chr., die Araber haben es jedoch im Hochmittelalter in Europa bekannt gemacht, weshalb es auch nach ihnen benannt wurde. Wesentlich ist, dass wir mit 10 Ziffern auskommen und damit jede beliebig große Zahl darstellen können. Den Namen Stellenwertsystem trägt es, da der Zahlenwert einer Ziffer davon abhängt, an welcher Stelle die Ziffer geschrieben wird.

die griechische Schreibweise

Durch die Griechen wurde eine bestimmte Schreibweise geläufig, die dem Stellenwertsystem nicht unähnlich ist. Dabei weist man jedem Buchstaben des Alphabets eine bestimmte Zahl zu. Das ganze funktioniert folgendermaßen:

der erste Buchstabe erhält den Wert 1, der zweite den Wert 2 usw., der neunte Buchstabe den Wert 9

der zehnte Buchstabe schließlich erhält den Wert 10, der elfte den Wert 20 usw, der neunzehnte den Wert 90

der 20. erhält den Wert 100, der 21. den Wert 200 und so weiter.

Da das griechische Alphabet nur 24 Buchstaben hat, die Griechen jedoch auch Zahlen bis 999 schreiben wollten, benutzten sie für die Zahlen 6, 90 und 900 andere Symbole. Diese Zahlzeichen konnten nun wie im Stellenwertsystem hintereinander gescrhieben werden und ergaben eine mehrstellige Zahl, so z.B.

φπβ = 582 (φ=500, π=80, β=2)

Diese Schreibweise wurde auch auf andere Schriften angewendet, so zum Beispiel im Hebräischen oder Lateinischen. Man begegnet ihr sehr oft, wenn es um den sogenannten Bibelcode geht, wo man aus den Buchstaben aus der Bibel Geheimnisse zu entschlüsseln versucht.

die Entwicklung der Mathematik von der Antike bis ins Spätmittelalter

Ein Larper, der einen mathematisch gebildeten Charakter spielen will, sollte sich zunächst über folgende Fragen im Klaren sein:

• Wie sehr will ich mich an der tatsächlichen Geschichte orientieren?
• Wie weit ist mein Heimatland entwickelt? Spielt es in der Antike, im frühen oder im späten Mittelalter?
• Hat mein Land ein real existierendes, kulturelles Vorbild? Passt es eher in den Orient oder in den Okzident?

Grundsätzlich ist zu erwähnen, dass die Mathematik, wie wir sie kennen, wesentlich durch die Inder und die Araber nach Europa gelangt ist, das heißt also, dass mathematische Fortschritte im Mittelalter im wesentlichen aus dem Orient kamen und im spätmittelalter von europäischen Gelehrten niedergeschrieben und fortgeführt wurden. Wer sich allerdings nicht explizit an die historischen Vorgaben halten will, der macht mit Sicherheit keinen schlimmen Fehler, solange er einigermaßen auf dem Teppich bleibt.

Schon 2000 Jahre vor Christus hatten die Mathematiker aus Babylon einen Wissenstand, der mit dem eines Sechstklässlers vergleichbar ist, sie kannten die Null, auch wenn sie kein Zeichen dafür besaßen, und rechneten mit Bruchzahlen und Quadratwurzeln. Die Ägypter gewannen zur selben Zeit große Erkenntnisse in der Geometrie. Sie konnten Flächen- und Volumeninhalte verschiedenster Körper berechnen.

Mathematik als logische Wissenschaft betrieben jedoch erst die Griechen. Pythagoras fand im 6. Jhd die ersten mathematischen Beweise. Euklid, der 330 v. Chr. in Alexandria geboren wurde, versuchte ein Axiomensystem zu erschaffen, in dem jede mathematische Aussage bewiesen werden sollte. Er prägte z.B. auch Begriffe wie den "Beweis durch Widerspruch". In der Tat kannten die Griechen viele sehr elegante Beweise, wie zum Beispiel für die Irrationalität der Wurzel 2 (welche aus diesem Grund auch Irrationalzahl heißt), die Unendlichkeit der Primzahlen oder Oberflächen- und Volumeninhalt der Kugel.

Der Grieche Pythagoras legte den Grundstein der sogenannten Zahlentheorie, die sich mit den Eigenschaften besonderer Zahlen befasst (Primzahlen, vollkommene Zahlen, Quadratzahlen, pythagoreische Zahlentripel, etc. ). Er befasste sich in diesem Zusammenhang auch mit dem Satz des Pythagoras, den er bewies, der jedoch nicht von ihm stammt und auch schon 2000 vor Christus bekannt war.

Die letzten nennenswerten Erfolge europäischer Mathematik endeten im Jahre 212 v. Chr., als der Philosoph Archimedes bei der Eroberung von Syrakusai von einem römischen Soldaten erschlagen wurde. Die Römer lernten eifrig von den Griechen, konnten ihren Wissensstand jedoch nicht nennenswert erweitern. Im Übergang von der Spätantike zum frühen Mittelalter schließlich ging ein großteil des Wissens verloren (damit verbunden u.A. der Brand in der Bibliothek von Alexandria, Plünderung und Zerstörung römischer Städte, die Schließung der Akademie Platons 529 n. Chr. etc.) und gelangte erst im Hochmittelalter wieder über die Araber nach Europa.

Doch auch dann hatten viele Gelehrte Schwierigkeiten, bis ihre Erkenntnisse auch anerkannt wurden. Eine Tatsache, die sicherlich auch mit der damaligen Einstellung der Kirche zur Wissenschaft zusammenhängt. Der Griechischen Mathematikerin Hypatia von Alexandria, die von 370 bis 415 nach Christus lebte, wurde bei lebendigem Leibe die Haut vom Fleisch gerissen, bevor man sie auf den Scheiterhaufen geworfen hat - was allerdings vermutlich weniger auf ihre mathematische Arbeit zurückzuführen ist, sondern auf politisch/religiöse Gründe. Ein anderes Beispiel: in Italien kannte man schon im 12. Jhd. die Methode, Platzhalter (keine Buchstaben, sondern ausgeschriebene Wörter) anstelle von unbekannten Zahlen zu schreiben und somit recht moderne Gleichungen zu notieren. Leonardo von Pisa, besser bekannt als Fibonacci, hat auf diese Weise schon gerechnet. Salonfähig wurde diese Schreibweise jedoch erst im 16. Jhd. durch Vieta.

Erst im 15. und 16. Jhd. beginnt die Mathematik in Europa zu florieren und es entstehen viele neue Lösungen zu bekannten Problemen. Leider liegen die meisten dieser Erkenntnisse schon im späten Mittelalter, so dass sie für viele Fantasywelten bereits aus dem Rahmen fallen.

Anwendung der unterschiedlichen Teilgebiete

Algebra

Das Lösen von Gleichungen beherrschten im Mittelalter vor allem die Araber (das Wort Algebra kommt sogar aus dem Arabischen). Allerdings werden Lösungsstrategien in Prosa verfasst, nicht kurz und bündig in Form von Gleichungen. Der Dreisatz löst wunderbar lineare Gleichungen und sieht nicht so modern aus wie ein Gleichungssystem.

Zusammenhänge zwischen der Geometrie und algebraischen Fragestellungen waren weitestgehend bekannt.

Symbole für die Rechenoperationen, wie "plus", "minus" usw. benutzte man in Griechenland ab dem 3. Jhd. n. Chr.

Die Algebra florierte in Europa vor allem im 16. Jhd. Damals wurden in Italien Lösungen für quadratische und kubische Gleichungen gefunden.

Geometrie

Die Geometrie ist vor allem in der antiken und frühmittelalterlichen Mathematik das Hauptanwendungsgebiet, so kommt es, dass Formeln für Flächen- und Volumeninhalte von Figuren und Körpern zum Großteil bekannt sind und für vielerlei Dinge angewendet werden. Die Klassifikation von Kreisen, Ellipsen und Hyperbeln als Kegelschnitte waren in der Antike bereits bekannt.

Wichtig ist wahrscheinlich die Winkelmessung. Rechte Winkel werden im allgemeinen über den Satz des Pythagoras ermittelt (man nimmt eine Schnur, an der man in gleichmäßigen Abständen (Idealerweise je einen Spann) einen Knoten macht; insgesamt sind 13 Knoten, sprich 12 Knotenabstände erforderlich; man verknotet und spannt die Schnur so, dass man ein Dreieck erhält, wobei die eine Seite 3 Knotenabstände, die andere 4 und die dritte 5 Knotenabstände lang ist). Der Begriff des Kosinus wurde im 2. Jhd. v. Chr. geprägt, Sinus und Tangens gelangen zwischen 1300 und 1500 nach Europa. Über Aufzeichnungen in Tabellen werden Näherungswerte für Sinus und Kosinus ermittelt. Sowas könnte zum Beispiel auch für Astronomen interessant sein.

Unbedingt sollte man sich einen Fadenzirkel basteln, um allerlei Zeichnungen anzufertigen. Man kann sich auch gewisse Konstruktionen mit Zirkel und Lineal aneignen, so zum Beispiel:

• Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Geraden
• Konstruktion der Winkelhalbierenden
• Konstruktion von regelmäßigem Fünfeck und Sechseck
• Auffinden des Mittelpunktes eines Kreises

• Der Goldene Schnitt (in engem Zusammenhang mit Kirchenbau)

Der Begriff des Koordinatensystems wiederum ist wohl schon etwas zu spät aufgekommen. Koordinatensysteme wurden im 17. Jhd. durch Fermat und Descartes geprägt.

Zahlentheorie

Wichtige Zahlentheoretische Begriffe sind zum Beispiel:

• Primzahlen (Zahl die nur durch eins oder sich selbst teilbar ist)
• vollkommene Zahlen (Zahl ist Summe ihrer echten Teiler, z.B. 1+2+4+7+14=28)
• Quadratzahlen
• Pythagoreische Zahlentripel (ein Tripel von natürlichen Zahlen, das den Satz von Pythagoras löst, z.B. 6²+8²=10²)
• befreundete Zahlen (Zahl x ist Summe der Teiler von y; Zahl y ist Summe der Teiler von x)

Befreundete Zahlen sind (wie so viele Elemente der Zahlentheorie) eine Entdeckung von Pythagoras. Er fand damals, dass die Zahlen 220 und 284 befreundet sind (220=1+2+4+71+142 ; 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110). Im Mittelalter sollen diesen beiden Zahlen große Macht zugeschrieben worden sein. Sie wurden auf Amulette geschrieben, galten als Symbole für Freundschaft und Liebe, wurden von manchen sogar zur Herstellung von Aphrodisiaka verwendet. Erst im Jahr 1636 fand Pierre de Fermat das zweite befreundete Zahlenpaar, und zwar 17296 und 18416.

Der Mythos, die Zahl 13 habe einen bösen Geist, stammt aus dem antiken Griechenland, genauer gesagt von den Pythagoräern. Dieser Aberglaube hat sich ja bis heute bewährt.

Sonstiges

Folgen und Reihen, sowie der Begriff der Unendlichkeit waren den Griechen bekannt. Archimedes konnte bereits den Grenzwert einer unendliche Reihe ausrechnen. Trotzdem findet sich im Mittelalter meines Wissens nicht viel zu diesem Thema.

Ausgehendes Mittelalter/Neuzeit

(interessant für Genres außerhalb des Fantasylarps)

• Der Begriff einer Menge ist durchaus denkbar. Aber die Mengenalgebra, wie man sie vielleicht in der Schule gelernt hat, ist eine sehr moderne Anwendung (genauer aus dem 19. Jhd.). Der Begriff der Gruppe stammt von Galois (Anfang 19. Jhd.)
• der Begriff einer Funktion ist wahrscheinlich recht unbedenklich, auch wenn er eher ins späte Mittelalter gehört. Ableitungen und Integrale sind jedoch etwas jüngeren Datums (17. Jhd.) und wirken auch in ihrer Anwendung recht modern. Der Logarithmus ist eine Entwicklung aus dem 16. Jhd. und kann deshalb höchstens in spätmittelalterlichen Ländern auftreten.
• Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wurde in der Neuzeit entwickelt und hat im historischen Sinne in mittelalterlicher Mathematik nichts zu suchen. Sie entstand im Wesentlichen in Frankreich zur Renaissance, da sich einige Glücksspielbesessene französische Adlige fragten, ob das Spiel mathematischen Regeln folgt. Im 18. Jhd begann die Statistik vor allem in Politik und Wirtschaft an Bedeutung zu gewinnen.

-- PatrickC

Literaturtipps:

• "Die Elemente" von Euklid, um 300 v. Chr., axiomatisch aufgebaut, umfasst einen Großteil der damals bekannten Mathematik
• "de triangulis omnimodis" von Johannes Müller (alias Regiomontanus), Mathematikbuch des 15. Jhd., für Astronomen und Landvermesser von Interesse

• http://www.oliver-bieri.ch/mascheroni/geschichte.htm

Siehe auch Mathematik, CharakterTippsGelehrter

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